Sascha´s Turm steht gerade - wenn Siva in der Nähe ist&period

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On 02.10.2020
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Die nebenstehende Tabelle führt alle Permutationen der Länge drei mit ihren zugehörigen Vorzeichen auf. Jeder Fehlstand führt dabei zu genau einem negativen Vorzeichen.

Demnach ist die Verkettung zweier Permutationen genau dann gerade, wenn beide Permutationen das gleiche Signum aufweisen. Für das Signum einer Transposition gilt.

Nachdem jede dieser Nachbarvertauschungen genau einen Fehlstand erzeugt, ist die Gesamtzahl der Fehlstände einer Transposition.

Es gibt natürlich noch weitere Möglichkeiten, eine Permutation als Verkettung von Transpositionen darzustellen. Handelt es sich dabei aber um eine gerade Permutation, dann ist die Zahl der benötigten Transpositionen immer gerade, handelt es sich um eine ungerade Permutation immer ungerade.

Eine zyklische Permutation der Länge zwei entspricht gerade einer Transposition zweier Zahlen. Eine zyklische Permutation ist also genau dann gerade, wenn ihre Länge ungerade ist.

Das Signum kann daher direkt aus dem Zykeltyp der Permutation abgelesen werden. Eine Permutation ist demnach genau dann gerade, wenn die Summe der Längen der einzelnen Zyklen minus der Anzahl der Zyklen gerade ist.

Da Zyklen ungerader Länge das Signum nicht verändern, ist eine Permutation genau dann gerade, wenn die Anzahl der Zyklen gerader Länge gerade ist.

Nachdem sich die Ordnung einer Permutation aus dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen ihrer Zyklenlängen ergibt, ist eine Permutation mit ungerader Ordnung stets gerade.

Einerzyklen können in der Zykelschreibweise und bei der Zählung auch weggelassen werden, ohne die Summe und damit das Signum zu verändern.

Es gibt genau n! Für die Mächtigkeit dieser beiden Mengen gilt demnach. Durch Invertierung ändert sich also das Signum einer Permutation nicht, was mit der Verkettungseigenschaft auch direkt über.

Diese Eigenschaft wird in der Theorie der Determinanten, beispielsweise der Leibniz-Formel verwendet. Der Kern dieses Homomorphismus ist die Menge der geraden Permutationen.

Konjugierte Permutationen besitzen dasselbe Signum, wie aus den Eigenschaften des Signum-Homomorphismus folgt.

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3 Kommentare

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